Как решать задачи на вероятность?
Если вас интересует вопрос заголовка, вы наверняка студент или школьник, столкнувшийся с новым для себя предметом. Задачи теории вероятностей сейчас решают и школьники пятых классов продвинутых школ, и старшеклассники перед ЕГЭ, и студенты буквально всех специальностей — от географов до математиков. Что же это за предмет такой, и как к нему подойти?
Понравилось? Добавьте в закладки
Вероятность. Что это?
Теория вероятностей, как следует из названия, имеет дело с вероятностями. Нас окружают множество вещей и явлений, о которых, как бы ни была развита наука, нельзя сделать точных прогнозов.
Мы не знаем, какую карту вытянем из колоды наугад или сколько дней в мае будет идти дождь, но, имея некоторую дополнительную информацию, можем строить прогнозы и вычислять вероятности этих случайных событий.
Таким образом, мы сталкиваемся с основным понятием случайного события — явления, поведение которого невозможно предсказать, опыта, результат которого заранее невозможно вычислить и т.п. Именно вероятности событий вычисляются в типовых задачах.
Вероятность — это некоторая, строго говоря, функция, принимающая значения от 0 до 1 и характеризующая данное случайное событие. 0 — событие практически невозможно, 1 — событие практически достоверно, 0,5 (или «50 на 50») — с равной вероятностью событие произойдет или нет.
Подробно решим ваши задачи по теории вероятностей
Алгоритм решения задач на вероятность
Подробнее с основами теории вероятностей можно ознакомиться, например, в онлайн учебнике.
А теперь не будем ходить вокруг да около, и сформулируем схему, по которой следует решать стандартные учебные задачи на вычисление вероятности случайного события, а затем ниже на примерах проиллюстрируем ее применение.
- Внимательно прочитать задачу и понять, что именно происходит (что из какого ящика вытаскивается, что где лежало, сколько приборов работает и т.п.)
- Найти основной вопрос задачи вроде «вычислить вероятность того, что . » и вот это многоточие записать в виде события, вероятность которого надо найти.
- Событие записано. Теперь надо понять, к какой «схеме» теории вероятностей относится задача, чтобы правильно выбрать формулы для решения. Ответьте на тестовые вопросы типа:
- происходит одно испытание (например, выбрасывание двух костей) или несколько (например, проверка 10 приборов);
- если испытаний несколько, зависимы ли результаты одного от других (зависимость или независимость событий);
- событие происходит в единственной ситуации или задача говорит о нескольких возможных гипотезах (например, шар вынимается из любого ящика из трех, или из конкретного).
Как решать задачи: классическая вероятность
Пример 1. В группе из 30 студентов на контрольной работе 6 студентов получили «5», 10 студентов – «4», 9 студентов – «3», остальные – «2». Найти вероятность того, что 3 студента, вызванные к доске, получили по контрольной работе «2».
Начинаем решение по пунктам, описанным выше.
- В задаче речь идет о выборе 3 студентов из группы, которые удовлетворяют определенным условиям.
- Вводим основное событие $X$ = (Все 3 студента, вызванные к доске, получили по контрольной работе «2»).
- Так как в задаче происходит только одно испытание и оно связано с отбором/выбором по определенному условию, речь идет о классическом определении вероятности. Запишем формулу: $P=m/n$, где $m$ – число исходов, благоприятствующих осуществлению события $X$, а $n$ – число всех равновозможных элементарных исходов.
- Теперь необходимо найти значения $m$ и $n$ для этой задачи. Сначала найдем число всех возможных исходов — число способов выбрать 3 студентов из 30. Так как порядок выбора не имеет значения, это число сочетаний из 30 по 3: $$n=C_^3=\frac=\frac=4060.$$ Найдем число способов вызвать только студентов, получивших «2». Всего таких студентов было $30-6-10-9=5$ человек, поэтому $$m=C_^3=\frac=\frac=10.$$
- Получаем вероятность: $$P(X)=\frac=\frac=0,002.$$ Задача решена.
Некогда решать? Найди решенную задачу
Готовые решения задач по любым разделам теории вероятностей, более 10000 примеров! Найди свою задачу:
Как решать задачи: формула Бернулли
- В задаче идет речь о серии одинаковых испытаний — бросаний монеты.
- Вводим основное событие $X$ = (При 8 бросаниях монеты герб выпадет 5 раз).
- Так как в задаче происходит несколько испытаний, и вероятность появления события (герба) одинакова в каждом испытании, речь идет о схеме Бернулли. Запишем формулу Бернулли, которая описывает вероятность того, что из $n$ бросков монет герб выпадет ровно $k$ раз: $$ P_(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^.$$
- Записываем данные из условия задачи: $n=8, p=0,5$ (вероятность выпадения герба в каждом броске равна 0,5) и $k=5$
- Подставляем и получаем вероятность: $$ P(X)=P_(5)=C_8^5 \cdot 0,5^5 \cdot (1-0,5)^=\frac\cdot 0,5^8=\frac\cdot 0,5^8= 0,219.$$ Задача решена.
И это все? Конечно, нет.
Выше мы упомянули только малую часть тем и формул теории вероятностей, для более подробного изучения вы можете посмотреть учебник онлайн на данном сайте (или скачать классические учебники по ТВ), ознакомиться со статьями по решению вероятностных задач, бесплатными примерами, воспользоваться онлайн калькуляторами. Удачи!
Понравилось? Добавьте в закладки
Полезные статьи по теории вероятностей
- Как найти математическое ожидание случайной величины?
- Как найти дисперсию случайной величины?
- Как найти вероятность в задачах про выстрелы?
- Как найти вероятность в задачах про подбрасывания монеты?
- Как найти вероятность в задачах про подбрасывание игральных костей?
- Как найти вероятность в задачах про станки?
- Как найти вероятность в задачах про надежность схем и цепей?
- Как найти вероятность наступления хотя бы одного события?
1. Классическое определение вероятности
Когда неизвестно, произойдёт в ходе испытания данное событие или нет, то говорят, что это случайное событие .
Например, случайное событие — выпадение решки при бросании монеты.
Достоверное событие — событие, которое в ходе испытания обязательно наступит.
Невозможное событие — событие, которое в ходе испытания точно не произойдёт.Если при проведении испытаний наступает исход, который влечёт за собой появление события \(A\), то этот исход назовём благоприятствующим событию \(A\).
Дадим классическое определение вероятности.
Вероятность события \(A\) — отношение количества благоприятствующих событию \(A\) исходов к общему количеству всех равновозможных исходов.
P ( A ) = m n , где
\(m\) — количество исходов испытания, в которых наступает событие \(A\),
\(n\) — количество всех равновозможных исходов.
Бросают игральный кубик. Какова вероятность, что выпадет \(3\) очка?Решение. Количество элементарных исходов \(n=6\). Событие \(A\) — выпадение трёх очков. Число случаев, благоприятствующих событию \(A\) равно \(m=1\). Получаем:
P ( A ) = m n = 1 6 .
Существует связь между терминами теории вероятностей и теории множеств. Соответствия заключаются в следующем:
- испытание с N исходами — множество из N элементов;
- отдельный исход испытания — элемент множества;
- случайное событие — подмножество;
- невозможное событие — пустое множество;
- достоверное событие — подмножество, которое совпадает со всем множеством;
- вероятность события — доля (часть) элементов подмножества среди всех элементов множества.
Случайные события называются не совместными в данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе.
Теорема
Если события \(A\) и \(B\) не совместны, то вероятность того, что наступит или \(A\), или \(B\), равна \(P(A) + P(B)\).
Теорема
Для нахождения вероятности противоположного события следует из единицы вычесть вероятность самого события: \(P(B) = 1-P(A)\).
Но встречаются испытания и с бесконечным множеством исходов. К ним классическая вероятностная схема уже неприменима. В таком случае применяют правило нахождения геометрической вероятности .
Пусть фигура \(X\) является частью фигуры \(Y\). Тогда вероятность того, что случайно выбранная из фигуры \(Y\) точка будет принадлежать фигуре \(X\), равна P = S ( X ) S ( Y ) , где \(S(X)\) — площадь фигуры \(X\), \(S(Y)\) — площадь фигуры \(Y\).
Аналогично поступают с множествами на числовой прямой (тогда площади заменяем на длину числовых множеств) и с пространственными телами (тогда площади заменяем на объёмы пространственных тел).
в прямоугольник \(5×4\) cm 2 помещён круг радиуса \(1,5\) \(cm\). В прямоугольник случайным образом поставили одну точку. Какова вероятность того, что эта точка будет находиться внутри круга?
Решение: по определению геометрической вероятности искомая вероятность равна отношению площади круга (в который точка должна попасть) к площади прямоугольника (в которой точка ставится), т. е. P = S круга S прямоугольника = π ⋅ 1,5 2 5 ⋅ 4 = 0,353 .
Рис. 1. Прямоугольник и круг
Рис. 1. Прямоугольник и круг. © ЯКласс.
Вычисление вероятности
Какова вероятность выиграть в лотерею? Исследователи подсчитали: один на восемь миллионов. «Или выиграю, или проиграю», — решаю я, покупая лотерейный билет. Так понятие вероятности преследует нас в обычной жизни. И не только в лотерее. Давайте разберемся подробнее.
Вероятность
Выходя утром из дома, мы задумываемся: брать ли с собой зонт? Проверяем прогноз погоды — вероятность выпадения осадков 2%. Зонтик нам сегодня вряд ли понадобится. В пути нас настигает ливень…
Прогноз погоды — самый яркий пример вероятности. Он не всегда бывает точный, не всегда сбывается. Мы не можем с уверенностью сказать, что будет завтра. Зато можем по совокупности факторов определить, на какую погоду стоит ориентироваться.
Теория вероятности — один из разделов математики, в котором изучаются модели случайных экспериментов.
Случайными экспериментами называются такие, результаты которых неизвестны заранее. Подбрасывая монетку, мы не знаем, что выпадет — орел или решка. Только поймав монетку, мы узнаем результат.
Ученый по имени Эрвин Шредингер провел мысленный эксперимент. Он поместил кота в закрытый ящик, в котором был расположен механизм, содержащий атомное ядро и ёмкость с ядовитым газом.
По эксперименту с вероятностью 0,5 ядро распадется, емкость с газом откроется и кот умрет. Но при этом с вероятностью 0,5 ядро не распадается и кот останется жив.
Рассмотрим чуть подробнее пример с монеткой. Есть всего два варианта, какое событие может произойти:
- выпадет орел;
- выпадет решка.
Эти два события образуют множество элементарных событий.
Множество элементарных событий — множество всех возможных результатов случайного эксперимента.
В случае выше их всего два. А если мы будем подбрасывать игральную кость, то их будет уже 6. Множество элементарных событий будет менять в зависимости от ситуации.
Допустим, мы поспорили с друзьями, что выпадет орел. Для нас это событие будет благоприятным, поскольку мы выиграем спор. Второе событие будет неблагоприятным, потому что спор будет проигран.
Как найти вероятность, что мы выиграем спор? Нужно разделить число благоприятных событий на общее число событий. Таким образом, мы получили классическое определение вероятности.
Вероятность — отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий.
Пусть m — количество благоприятных исходов, а n — количество всех событий. Получаем следующую формулу.
Вероятность можно обозначить, как P(x), где х — некоторое событие.
Заметим, что количество благоприятных исходов должно быть либо меньше, либо равно количеству всех исходов. Если благоприятных событий больше, чем всех, значит, мы нашли не все множество элементарных событий.
Когда вероятность равна 1, то такое событие точно наступит. Иначе говоря, мы можем быть уверены на 100% — оно произойдет.
Можно, если хитро сформулировать условия. Например: «Орел — я выиграл, решка — ты проиграл». Вероятность выигрыша в этом случае будет равна \(P = \frac = 1\), то есть мы точно выиграем спор.
Однако вероятность не так проста, и даже здесь подготовила ловушку.
Вероятность всегда будет меньше или равна 1. Но ее можно выразить и через проценты. Для этого достаточно умножить полученный результат на 100%.
Пример 1. На ресепшене одного из отелей стоит ваза с конфетами. В вазе 56 яблочных конфет, 49 апельсиновых и 35 малиновых. Гость отеля наугад тянет конфету. Какова вероятность, что ему попадется апельсиновая конфета?
Решение. Найдем, сколько всего конфет в вазе: 56 + 49 + 35 = 140. Вероятность вытащить апельсиновую конфету будет равна
\(\frac = 0,35\)Выразим в процентах:
0,35 * 100% = 35%Задача решена. Обычно в ответе пишут значение вероятности через дробное число, а не проценты. Поэтому получаем следующий ответ.
Ответ: 0,35
Чтобы выразить вероятность через проценты в одно действие, достаточно воспользоваться следующей формулой.
Но что, если нам нужно найти вероятность для более сложных экспериментов? Первым делом нужно определить, какие события перед нами.
Равновозможные и противоположные события
Когда мы бросаем игральную кость, вероятность выпадения любого из чисел равна 16. То есть вероятности выпадения чисел равны между собой. Такие события называются равновозможными.
Равновозможные события — такие события, что по условиям опыта ни одно из них не является более возможным, чем другие.
Вероятности появления событий равны.
Для игрального кубика существует всего шесть событий, которые могут произойти: выпадет число 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Все эти события образуют полную группу событий.
Полная группа событий — такая группа событий, если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них.
В результате подбрасывания монеты выпадет либо орел, либо решка. То есть полная группа событий состоит из двух событий.
Мы подбросили монету и выпал орел. Следовательно, не выпала решка.
А если не выпадет орел? Обязательно выпадет решка. Эти события будут называться противоположными.
Противоположные события — такие события, если при не наступлении одного обязательно наступает второе.
Обозначим событие “выпала решка” как A. Противоположное ему событие “выпал орел” обозначим как \(\overline\).
Заметим, что вероятность события A равняется 12, как и вероятность события \(\overline\). Чему равна их сумма?
Так мы вывели связь между противоположными событиями. Поскольку они всегда образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей будет равна 1.
Какие еще примеры противоположных событий можно назвать? Ясная и дождливая погода. Если наступает одно из этих событий, то второе уже не может наступить.
Объединение и пересечение событий
Допустим, у нас есть два события: сегодня пойдет снег и сегодня пойдет дождь. Что будет, если мы их объединим?
Объединение событий — событие, состоящее из всех элементарных исходов, благоприятствующих хотя бы одному из событий.
В этом случае мы получим событие, которое будет выполняться при любом из исходов: и если пойдет снег, и если не пойдет снег.
Объединение событий обозначается знаком \(\cup\). Объединение событий А и В можно записать как \(A \cup B\).
Рассмотрим немного другой пример. В первое событие входит, что Илья получит пятерку по физике, а второе событие — Антон получит пятерку по физике. А как можно назвать событие, если оба мальчика получат пятерку по физике?
Пересечение событий — событие, состоящее из всех элементарных исходов, благоприятствующих обоим событиям.
Пересечение событий обозначается знаком \(\cap\). Пересечение событий А и В можно записать как \(A \cap B\).
Несовместные и совместные события
Рассмотрим два события: “чайник исправно работает” и “чайник сломался”. Могут ли эти события существовать одновременно? Нет, поскольку появление одного из них исключает появление другого.
Такие события называются несовместными. Название само говорит, что события не могут существовать одновременно.
Несовместные события — такие события, появление одного из которых исключает появление другого.
Решим небольшую задачу. На экзамене есть несколько билетов. С вероятностью 0,5 попадется билет по планиметрии. С вероятностью 0,3 попадется билет по экономике. При этом не существует билетов, которые включают обе эти темы. С какой вероятностью на контрольной попадется билет по одной из этих тем?
Представим билеты в виде схемы. Заметим, что нам нужно объединить два из трех кругов, то есть сложить их вероятности.
Следовательно, вероятность будет равна 0,5 + 0,3 = 0,8.
Сформулируем определение суммы вероятностей двух несовместных событий.
Если события А и В несовместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей:
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
Если существуют несовместные события, то существуют и совместные.
Совместные события — события, наступление одного из которых не исключает наступления другого.
В магазине работают два консультанта. Один из них занят общением с клиентом. Означает ли это, что второй консультант тоже занят? Нет, поскольку они работают независимо друг от друга. Если занят первый консультант, второй может быть как занят, так и нет.
Подбросим игральный кубик и рассмотрим два вида событий. Пусть событие А — это “выпадет число 2”, событие В — “выпадет четное число”.
Найдем вероятность события А: \(\frac\).
Для события В всего три благоприятных исхода из шести: выпадет число 2, 4 или 6. Тогда вероятность наступления события В равна \(\frac = \frac\)
Исключают ли события А и В друг друга? Нет, поскольку если произойдет событие А, произойдет и событие В. Когда произойдет событие В, есть вероятность, что произойдет и событие А.
Найдем объединение совместных событий на примере кругов. Если мы наложим их друг на друга, то в середине получится как бы два слоя. Проверить это можно, если наложить друг на друга два листа бумаги.
А нужно получить вот такую картину:
Поэтому для объединения двух кругов нам нужно будет исключить одну из серединок.
Если события А и В совместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей без вероятности их пересечения:
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) — P(A \cap B)\)
В каких случаях нужно пользоваться формулой со сложением? Достаточно, чтобы задачу можно было сформулировать с помощью “или”. Например, нужно, чтобы выпали темы по планиметрии или по экономике.
Независимые и зависимые события
Прогуляемся в магазин за булочками. В упаковке две булочки, а сама упаковка непрозрачная, то есть увидеть булочки до вскрытия упаковки мы не можем.
Известно, что на заводе, где изготавливаются булочки, 5 из 100 булочек подгорают. Значит, 95 из 100 булочек не подгорают. По классическому определению вероятности находим, что вероятность каждой булочки не подгореть равна \(\frac = 0,95\).
Какова вероятность, что в упаковке попадутся только не подгорелые булочки? Как найти вероятность сразу для двух булочек?
Ответим на вопрос: зависят ли булочки друг от друга?
Если подгорит одна из булочек в упаковке, не обязательно подгорит другая. Следовательно, булочки не зависят друг от друга. Такие события называются независимыми.
Независимые события — такие события, появление одного из которых не зависит от появления другого события.
Определим вероятность независимых событий.
Пусть вероятность, что подгорела первая булочка, будет равна Р(А) = 0,95, а вероятность для второй булочки будет равна Р(В) = 0,95.
А чтобы найти вероятность независимых событий, нужно воспользоваться следующей формулой:
\(P(A \cap B) = P(A) * P(B)\)
Тогда вероятность, что булочки в одной упаковке не подгорят, равняется P = 0,95 * 0,95 = 0,9025.
В каком случае нужно пользоваться этой формулой? Нужно подставить союз “и”.
Мы хотим, чтобы в упаковке первая булочка была не подгорелой и вторая булочка была не подгорелой.
Приведем еще один пример. В здании два автомата с кофе на разных этажах. Даже если сломается один из них, работа второго не будет зависеть от первого.
Но если автоматы стоят рядом и включены в одну розетку, то при поломке одного из них есть вероятность выхода из строя розетки, а значит, и второй автомат тоже сломается. Такие события будут зависимыми: появление одного из них зависит от появления другого.
Предположим, что в мешке лежит семь кубиков: два из них оранжевые, а пять — фиолетовые. Из мешка дважды вытаскивают кубики. Какова вероятность, достать во второй раз именно фиолетовый кубик?
Нужная последовательность может быть в двух случаях:
- сначала вытащат фиолетовый кубик и потом снова фиолетовый;
- сначала вытащат оранжевый кубик, а потом фиолетовый.
Разберем первый случай. Вероятность в первый раз вытащить фиолетовый кубик равна \(\frac\). После этого в мешке останется шесть кубиков, четыре из которых будут фиолетовые.
Вероятность вытащить во второй раз фиолетовый кубик равна \(\frac * \frac = \frac = \frac\).
Теперь рассмотрим второй случай. Вероятность в первый раз достать оранжевый кубик равна \(\frac\). В мешке останется шесть кубиков, пять из которых будут фиолетовыми.
Вероятность вытащить во второй раз фиолетовый кубик будет уже равна \(\frac * \frac = \frac = \frac\).
В этом примере очень наглядно видно, что вероятность напрямую зависит от того, какой кубик попался первым. Следовательно, эти события зависимы.
Как отличить зависимые и независимые события? Если после наступления первого события меняется количество благоприятных и всех исходов, то такие события — зависимые. Если количество благоприятных и всех исходов не меняется, то события независимые.
Условная вероятность — вероятность некоторого события В при условии наступления некоторого события А.
Условная вероятность обозначается P(B|A). В нашем примере условной вероятностью будет вычисление, что во второй раз попадется именно фиолетовый кубик.
Найдем вероятность двух зависимых событий. Формула похожа на ту, что используется для независимых событий. Но в этот раз нам нужно применить условную вероятность.
Вероятность появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что первое событие уже наступило:
\(P(A \cap B) = P(A) * P(B | A)\)
Формула Бернулли
Рассмотрим случаи, когда испытание повторяется многократно. Для этого еще раз обратимся к игральному кубику. Подбросим кубик 8 раз. Какова вероятность, что цифра 5 выпала ровно три раза?
Пусть p — вероятность, что выпадет цифра 5. Тогда \(p = \frac\).
Теперь возьмем q — противоположное р событие — вероятность, что цифра 5 не выпадет. \(q = \frac\).
Обозначим количество всех бросков за n, а количество выпадения цифры 5 за k.
Чтобы решить задачу, нужно воспользоваться формулой Бернулли.
Множитель \(C_n^k\) — это число сочетаний. Подробнее узнать про сочетания можно в статье «Основы комбинаторики».
Решим задачу, подставив значения в формулу:
Фактчек
- Вероятность — отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий.
- События могут быть противоположными. Противоположные события — такие события, если при не наступлении одного обязательно наступает второе.
- События можно разделить на совместные и несовместные. Несовместные события — такие события, появление одного из которых исключает появление другого. Если события А и В несовместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей: P(A \(\cup) B) = P(A) + P(B). Совместные события — события, наступление одного из которых не исключает наступления другого. Если события А и В совместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей без вероятности их пересечения: P(A \cup B) = P(A) + P(B) — P(A \cap B).
- События также можно разделить на независимые и зависимые. Независимые события — такие события, появление одного из которых не зависит от появления другого события. Вероятность независимых событий можно найти по формуле P(A \cap B) = P(A) * P(B). Зависимые события — это события, появление одного из которых зависит от появления другого. Вероятность появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что первое событие уже наступило. P(A \cap B) = P(A) * P(B | A).
- Условная вероятность — вероятность некоторого события В при условии наступления некоторого события А.
Проверь себя
Задание 1.
Какие события являются несовместными?- Подбрасывание монетки.
- Брак батареек в одной упаковке.
- “Миша идет” и “Миша стоит”.
- Случайное вытаскивание конфет из вазы.
Задание 2.
Алена делает ошибку при решении задач по математике с вероятностью 0,17. С какой вероятностью она не сделает ошибку при решении задачи?Задание 3.
Артем решал задачи на вероятность. Ниже приведены его ответы. В какой из задач он точно совершил ошибку?Задание 4.
В упаковке три шариковые ручки. С вероятностью 0,1 такая ручка не будет писать. Найдите вероятность, что все три ручки в упаковке пишут.Задание 5.
Перед Дашей лежит несколько карточек. Она случайно переворачивает одну из них. С вероятностью 0,5 на карточке окажется рисунок природы. С вероятностью 0,27 на карточке окажется мотивационная цитата. Карточек и с рисунком, и с цитатой нет. Найдите вероятность, что Дана перевернет карточку или с рисунком, или с цитатой.Ответы: 1. — 3 2. — 3 3. — 4 4. — 4 5. — 1
1. Теория вероятностей
Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти.
Примером случайного события можно считать приобретение бракованного товара или выигрышного лотерейного билета.
Классическое определение вероятности
Вероятностью события A называется отношение числа благоприятных для A исходов к числу всех равновозможных исходов.
Формула для нахождения вероятности случайного события:
P ( A ) = N ( A ) N ,где P ( A ) — вероятность случайного события A , N ( A ) — количество тех исходов испытания, в которых наступает событие A , N — число всех возможных исходов данного испытания.
Противоположные события
Событие, противоположное событию A , обозначают A ¯ . При проведении испытания всегда происходит ровно одно из двух противоположных событий.
P ( A ) + P A ¯ = 1 .
P A ¯ = 1 − P ( A ) .
Противоположными событиями, например, является приобретение исправной и бракованной лампочек.
Несовместимые событияДва события A и B называют несовместимыми, если отсутствуют исходы, благоприятствующие одновременно как событию A , так и событию B .
Если события A и B несовместимы, то вероятность их наступления равна сумме вероятностей событий A и B .
Примером является следующая ситуация: если наугад вытащить один шарик из коробки, где лежат шарики двух разных цветов, то появление при единичном вытаскивании одновременно шариков разных цветов — несовместимые события. Это объясняется тем, что мы можем за один раз достать шарик либо одного, либо другого цвета.
Независимые события
Два события A и B называют независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от появления или непоявления другого события.
Если события A и B независимы, то вероятность их пересечения равна произведению вероятностей событий A и B .
Примером будет ситуация, в которой подбрасывают две монеты и выпадают две решки. Результат второй монеты не зависит от результата первой монеты и наоборот, поэтому события являются независимыми.
Рассмотрим теорию, которая относится к разделу комбинаторики.
ПерестановкиЭто упорядоченные совокупности, которые отличаются друг от друга только порядком элементов. Примером является размещение нескольких книг на одной полке.
Размещения
A n k = n ! ( n − k ) !Это упорядоченные совокупности, которые отличаются друг от друга составом или порядком элементов. Примером является выбор директора и заместителя директора из некоторого числа кандидатов.
C n k = n ! ( n − k ) ! ⋅ k !
Это неупорядоченные совокупности, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Примером будет выбор двух вопросов из списка вопросов к экзамену.