Как делать замену переменной

4. Решение уравнения методом введения новой переменной

3) возвращаются к обозначенному и, используя полученное число (корни), вычисляют требуемое неизвестное.

реши уравнение 2x − 21 2 − 5 2 x − 21 + 4 = 0 .

Это уравнение можно решить и без использования новой переменной (раскрываются скобки по формуле разности квадратов и т. д.), но решение будет длинным и с большими числами.

Используем то, что обе скобки равны.

Обозначаем \(2x-21 = y\). Получается простое квадратное уравнение:

y 2 − 5 y + 4 = 0 по теореме Виета ; y 1 = 4, y 2 = 1 .

Как делать замену переменной

Пожалуй, самым важным методом решения уравнений любого типа является введение нового неизвестного, относительно которого уравнение имеет более простой вид, легко приводящийся к элементарному типу.

Перечислим наиболее часто встречающиеся типы замен.

• Замена ( степенная замена ) В частности, с помощью замены так называемое биквадратное уравнение приводится к квадратному.

• Замена или ( замена многочлена ) Чаще всего встречается замена или

• Замена ( дробно-рациональная замена ). Здесь, как и всегда, и − многочлены степеней и соответственно. В частности, с помощью широко распространённой замены решаются так называемые возвратные уравнения, то есть уравнения вида
  Покажем, как это делается. Так как , то число не является корнем этого уравнения. Разделим уравнение на , получим
  А так как то после замены уравнение сводится к квадратному

Дадим два практических совета.

Совет 1. Замену переменных нужно делать сразу, при первой же возможности.

Совет 2. Уравнение относительно новой переменной нужно решать до конца, и лишь затем возвращаться к старому неизвестному.

Пример 1

Сделаем замену переменных В терминах новой неизвестной уравнение имеет вид Корни этого квадратного уравнения и . Имеем два случая.

1) Значит, это уравнение корней не имеет.

2) Корни этого уравнения и .

Пример 2

Непосредственной проверкой убеждаемся, что не является корнем этого уравнения. Разделим числитель и знаменатель каждой из дробей на . Имеем

Теперь очевидна замена переменной: В терминах новой переменной имеем уравнение

Корни этого уравнения и . Имеем два случая:

1) Следовательно, это уравнение корней не имеет.

2) Корни этого уравнения и

Математика

К потере корней может привести сокращение обеих частей уравнения на общий множитель.

Посторонние корни могут появится при умножении обеих частей уравнения на множитель, содержащий неизвестное.

При возведении обеих частей уравнения в квадрат (или любую четную степень) могут появляться посторонние корни.

Посторонние корни могут появляться при решении иррационального уравнения, поэтому лучше выполнять проверку.

Метод замены переменной

В ряде случаев решение уравнения можно упростить введением новой переменной (нового неизвестного).

Например, уравнение вида

где a, b, c — числа, называется биквадратным. Решается введением замены x 2 =t

Метод замены используют не только при решении биквадратных уравнений.

Сложные замены переменной

Основная трудность решения задач методом подстановки заключается в том, что иногда трудно угадать вид самой подстановки и вид уравнений, где подстановку можно использовать.

Очень сложные замены переменной

Графический способ решения уравнений

Графический способ решения уравнений f(x)=g(x) заключается в следующем: строят в одной системе координат графики двух функций y=f(x) и y=g(x) и находят абсциссы точек пересечения графиков. Абсциссы точек пересечения графиков и являются корнями уравнения.

Уравнения вида a 4 +b 4 =(a+b) 4

Преобразуем выражение a 4 +b 4 =(a+b) 4 :

Метод на основе использования монотонности функций

При решении уравнения f(x)=g(x) можно исследовать функции y=f(x) и y=g(x) на монотонность. Если одна из этих функций на промежутке монотонно убывает, а другая функция монотонно возрастает, то уравнение или имеет один корень, или вообще не имеет корней. Корень уравнения можно найти методом подбора или графическим методом.

Если функция y=f(x) возрастает, а y=g(x) убывает на промежутке , и при этом f(a)>g(a), то корней нет.

Уравнения вида f(f(x))=x

Примеры уравнений вида f(f(x))=x, где f(x) — некоторая функция:

1. Любой корень уравнения f(x)=x является корнем уравнения f(f(x))=x;
2. Если функция f(x) возрастает на некотором множестве и значения x и значения функции f(x) принадлежат этому множеству, то уравнения f(x)=x и f(f(x))=x равносильны на этом множестве.

Для убывающей функции f(x) правило 2 применить нельзя.

Метод тригонометрической подстановки*

Суть метода состоит в замене переменной х тригонометрической функцией, например . Решение исходного уравнения сводится к решению тригонометрического уравнения. Но тригонометрическое уравнение обычно имеет бесконечное множество решений, а исходное — конечное.

Метод на основе использования численных неравенств*

Неравенство Коши.

Неравенство Бернулли.

Равенство достигается при x=0 или n=1.

Неравенство Коши-Буняковского.

Равенство достигается в том и только в том случае, когда существует положительная константа a такая, что x₁=ay₁, x₂=ay₂. x_n=ay_n.

Метод решения функциональных уравнений*

Решение уравнения вида

Если — строго монотонная функция на отрезке , то уравнение равносильно уравнению для .

Решение уравнения вида

Если — строго монотонная функция, то уравнение равносильно уравнению на области допустимых значений уравнения.

Если — строго монотонная и при этом является четной, то уравнение равносильно двум уравнениям на области допустимых значений уравнения.

Решение уравнения вида

сводится к решению уравнения вида , если функция является нечетной.

Метод замены переменной

Этот метод один из самых популярных при решении сложных заданий, в частности, в ЕГЭ и ОГЭ.

У нас довольно сложное уравнение. А если раскрыть скобки, оно станет еще сложнее. Что делать? Давайте попробуем заменить переменную.

Заменим выражение \(x+\frac\) буквой \(t\).

Получилось обычное квадратное уравнение! Решив его, найдем чему равно \(t\), после чего, сделав обратную замену, вычислим \(x\).

Когда не стоит вводить новую переменную? Когда это не сделает уравнение проще. Например, если старая переменная остается, несмотря на замену:

Попробуем сделать замену здесь.

Заменим выражение \(\sin x\) буквой \(t\).

Видим, что в этой замене нет никакого смысла – она не упростила уравнение, даже наоборот, усложнила его, потому что теперь у нас в уравнении две переменные.

Примеры использования метода замены переменной

Пример. Решите уравнение: \(4x^4-5x^2+1=0\).
Решение:

Заметим, что \(x^4=(x^2 )^2\) (см. свойства степеней ). Тогда наше уравнение приобретает следующий вид.

Теперь используем метод замены.

Вводим новую переменную, заменяя \(x^2\) на \(t\).

Мы нашли чему равно \(t\), но найти-то надо иксы! Поэтому делаем обратную замену.

Весьма частая ошибка при использовании этого метода: забыть «вернуться к иксам», то есть не сделать обратную замену. Помните – нам нужно найти \(x\), а не \(t\)! Поэтому возврат к \(x\) — строго обязателен!

Пример. Решить неравенство: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Приступим к решению.

Теперь нужно вернуться к исходной переменной – иксу. Для этого перейдем к совокупности , имеющей такое же решение, и сделаем обратную замену.

Преобразовываем числа в логарифмы \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac\).

Делаем переход к сравнению аргументов. Основания у логарифмов больше \(1\), поэтому знак неравенств не меняется.

Соединим решение неравенства и ОДЗ на одном рисунке.