Теория вероятностей. Базовые термины и понятия
Под занавес продолжительных летних каникул пришло время потихоньку возвращаться к высшей математике и торжественно открыть пустой вёрдовский файл, чтобы приступить к созданию нового раздела – Теория вероятностей и математическая статистика. Признаюсь, нелегко даются первые строчки, но первый шаг – это пол пути, поэтому я предлагаю всем внимательно проштудировать вводную статью, после чего осваивать тему будет в 2 раза проще! Ничуть не преувеличиваю. …Накануне очередного 1 сентября вспоминается первый класс и букварь…. Буквы складываются в слоги, слоги в слова, слова в короткие предложения – Мама мыла раму. Совладать с тервером и математической статистикой так же просто, как научиться читать! Однако для этого необходимо знать ключевые термины, понятия и обозначения, а также некоторые специфические правила, которым и посвящён данный урок.
Но сначала примите мои поздравления с началом (продолжением, завершением, нужное отметить) учебного года и примите подарок. Лучший подарок – это книга, и для самостоятельной работы я рекомендую следующую литературу:
1) Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика
Легендарное учебное пособие, выдержавшее более десяти переизданий. Отличается доходчивостью и предельной простой изложения материала, а первые главы так и вовсе доступны, думаю, уже для учащихся 6-7-х классов.
2) Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике
Решебник того же Владимира Ефимовича с подробно разобранными примерами и задачами.
ОБЯЗАТЕЛЬНО закачайте обе книги из Интернета или раздобудьте их бумажные оригиналы! Подойдёт и версия 60-70-х годов, что даже лучше для чайников. Хотя фраза «теория вероятностей для чайников» звучит довольно нелепо, поскольку почти всё ограничивается элементарными арифметическими действиями. Проскакивают, правда, местами производные и интегралы, но это только местами.
Я постараюсь достичь той же ясности изложения, но должен предупредить, что мой курс ориентирован на решение задач и теоретические выкладки сведены к минимуму. Таким образом, если вам нужна развёрнутая теория, доказательства теорем (да-да, теорем!), пожалуйста, обратитесь к учебнику.
Для тех, кто хочет научиться решать задачи в считанные дни, создан ускоренный курс в pdf-формате (по материалам сайта). Ну и прямо сейчас, не откладывая дело в долгую папку, мы приступаем к изучению тервера и матстата – следуйте за мной!
Рекомендуемый порядок изучения темы:
Для начала хватит =)
По мере прочтения статей полезно знакомиться (хотя бы бегло) с дополнительными задачами рассмотренных видов. На странице Готовые решения по высшей математике размещены соответствующие pdf-ки с примерами решений. Также заметную помощь окажут ИДЗ 18.1-18.2 Рябушко (попроще) и прорешанные ИДЗ по сборнику Чудесенко (посложнее).
Кроме того, на складе математических формул и таблиц есть удобные справочные материалы – Основные формулы комбинаторики и Основные формулы теории вероятностей. Откройте — закачайте — распечатайте!
Итак, дорожные указатели расставлены, и мы ступаем на тропу теории вероятностей, которую неоднократно просили осветить посетители сайта.
Первое и очень важное. Что изучает эта наука? Многим в голову наверняка пришли мысли вроде «вероятность дождя велика», «вероятность выигрыша в лотерею мала», «орёл и решка выпадают с вероятностью 50 на 50» и т.п. Но тогда сразу возникает вопрос, при чём здесь наука? Пожалуйста, прямо сейчас возьмите в руки монету и скажите, какой гранью она выпадет после броска? …Совсем не похоже на теорию – скорее какое-то гадание….
И действительно, обывательское понимание вероятности больше смахивает на некое предсказание, часто с изрядной долей мистицизма и суеверий. Теория же вероятностей изучает вероятностные закономерности массовых однородных случайных событий. То есть, у неё нет цели что-либо угадать, например, результат броска той же монеты в единичном эксперименте. Однако если одну и ту же монету в одинаковых условиях подбрасывать сотни и тысячи раз, то будет прослеживаться чёткая закономерность, описываемая вполне жёсткими законами.
Другой пример. Вокруг каждого из нас летают молекулы воздуха. Некоторые из них обладают высокой, некоторые средней, а некоторые – низкой скоростью. Не имеет смысла угадывать скорость отдельно взятых молекул; но их массовый учёт находит самое широкое применение в теоретических и прикладных физических исследованиях. Обратите внимание, что самолёты «умеют» летать, газовые и паровые котлы обычно не взрываются, а чайники при кипении не скачут по кухне. За многими и многими, казалось бы, обыденными фактами и событиями кроются серьёзные вероятностно-статистические расчёты.
Или пример попроще. Если вы приобретёте лотерейный билет, то вряд ли что-то выиграете и совсем невероятно, что сорвёте крупный куш. Но организатор лотереи даже при случайном розыгрыше тиража (извлечение пронумерованных шариков и т.п. либо если участники сами угадывают номера) гарантированно и с высокой точностью знает, сколько билетов выиграют/проиграют, и, понятно, остаётся в прибыли. Лотереи часто называют обманом, однако парадокс состоит в том, что эта гарантия строго обоснована теорией; рАвно, как и житейская фраза «всё равно ничего не выиграю». Думаю, теперь все поняли правильный способ заработка на лотереях =) Впрочем, мы ещё вернёмся к «секретам» выигрыша в рулетку и различные лотереи.
Да, кстати подумайте ещё над одной насущной задачей: многие из нас за жизнь сдают десятки экзаменов, и практически всегда имеет место следующая ситуация: часть вопросов студент знает (либо заготовлены шпоры), а часть вопросов – не знает (либо плавает как мастер спорта). Наступает день «X»: утро, коридор с 10-15 однокурсниками и дверь, за которой на столе лежит полный комплект билетов. В каком случае вероятнее сдать экзамен – если идти «в первых рядах», «в серединке» или если зайти в аудиторию в числе последних? …Изучаем теорию вероятностей!
Сначала разбираемся с основными терминами, которые ниже по тексту я буду выделять жирным курсивом. Обращаю ваше внимание, что это ИМЕННО ТЕРМИНЫ, а не «просто слова»!
События. Виды событий
Одно из базовых понятий тервера уже озвучено выше – это событие. События бывают достоверными, невозможными и случайными.
Достоверным называют событие, которое в результате испытания (осуществления определенных действий, определённого комплекса условий) обязательно произойдёт. Например, в условиях земного тяготения подброшенная монета непременно упадёт вниз.
Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдёт в результате испытания. Пример невозможного события: в условиях земного тяготения подброшенная монета улетит вверх.
И, наконец, событие называется случайным, если в результате испытания оно может, как произойти, так и не произойти, при этом должен иметь место принципиальный критерий случайности: случайное событие – есть следствие случайных факторов, воздействие которых предугадать невозможно или крайне затруднительно. Пример: в результате броска монеты выпадет «орёл». В рассмотренном случае случайные факторы – это форма и физические характеристики монеты, сила/направление броска, сопротивление воздуха и т.д.
Подчёркнутый критерий случайности очень важен – так, например, карточный шулер может очень ловко имитировать случайность и давать выигрывать жертве, но ни о каких случайных факторах, влияющих на итоговый результат, речи не идёт.
Любой результат испытания называется исходом, который, собственно и представляет собой появление определённого события. В частности, при подбрасывании монеты возможно 2 исхода (случайных события): выпадет орёл, выпадет решка. Естественно, подразумевается, что данное испытание проводится в таких условиях, что монета не может встать на ребро или, скажем, зависнуть в невесомости.
События (любые) обозначают большими латинскими буквами либо теми же буквами с подстрочными индексами, например: . Исключение составляет буква , которая зарезервирована под другие нужды.
Запишем следующие случайные события:
– в результате броска монеты выпадет «орёл»;
– в результате броска игральной кости (кубика) выпадет 5 очков;
– из колоды будет извлечена карта трефовой масти (по умолчанию колода считается полной).
Да, события прямо так и записывают в практических задачах, при этом в уместных случаях удобно использовать «говорящие» подстрочные индексы (хотя можно обойтись и без них).
Следует в третий раз подчеркнуть, что случайные события обязательно удовлетворяют вышеприведённому критерию случайности. В этом смысле снова показателен 3-й пример: если из колоды изначально удалить все карты трефовой масти, то событие становится невозможным. Наоборот, если испытателю известно, что, например, дама треф лежит снизу, то он при желании может сделать событие достоверным =) Таким образом, в данном примере предполагается, что карты хорошо перемешаны и их рубашки неразличимы, т.е. колода не является краплёной. Причём, здесь под «крапом» понимаются даже не «умелые руки», ликвидирующие случайность вашего выигрыша, а видимые дефекты карт. Например, рубашка той же дамы треф может быть грязной, порванной, заклеенной скотчем… блин, какое-то пособие для начинающего чикатило получилось =)
Таким образом, при розыгрыше важного жребия всегда есть смысл невзначай посмотреть, а не одинаковы ли грани монеты 😉
Другая важная характеристика событий – это их равновозможность. Два или бОльшее количество событий называют равновозможными, если ни одно из них не является более возможным, чем другие. Например:
выпадение орла или решки при броске монеты;
выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков при броске игрального кубика;
извлечение карты трефовой, пиковой, бубновой или червовой масти из колоды.
При этом предполагается, что монета и кубик однородны и имеют геометрически правильную форму, а колода хорошо перемешана и «идеальна» с точки зрения неразличимости рубашек карт.
Могут ли быть те же события не равновозможными? Могут! Например, если у монеты или кубика смещён центр тяжести, то гораздо чаще будут выпадать вполне определённые грани. Как говорится, ещё одна лазейка для мошенников. События – извлечение трефы, пики, червы или бубны тоже равновозможны. Однако равновозможность легко нарушит фокусник, который, тасуя колоду (даже «идеальную»), ловко подсмотрит и спрячет в рукаве, например, туза треф. Здесь становится менее возможным, что оппоненту будет сдана трефа, и, главное, менее возможно, что будет сдан туз.
Тем не менее, в рассмотренных трёх случаях при потере равновозможности всё же сохраняется случайность событий.
Совместные и несовместные события. Противоположные события.
Полная группа событий
События называют несовместными, если в одном и том же испытании появление одного из событий исключает появление других событий. Простейшим примером несовместных событий является пара противоположных событий. Событие, противоположное данному, обычно обозначается той же латинской буквой с чёрточкой вверху. Например:
– в результате броска монеты выпадет орёл;
– в результате броска монеты выпадет решка.
Совершено ясно, что в отдельно взятом испытании появление орла исключает появление решки (и наоборот), поэтому данные события и называются несовместными.
Противоположные события легко формулируются из соображений элементарной логики:
– в результате броска игрального кубика выпадет 5 очков;
– в результате броска игрального кубика выпадет число очков, отличное от пяти.
Либо пять, либо не пять – третьего не дано, т.е. события несовместны и противоположны.
Аналогично – или трефа или карта другой масти:
– из колоды будет извлечена карта трефовой масти;
– из колоды будет извлечена пика, черва или бубна.
Множество несовместных событий образуют полную группу событий, если в результате отдельно взятого испытания обязательно появится одно из этих событий. Очевидно, что любая пара противоположных событий (в частности, примеры выше) образует полную группу. Однако в различных задачах с одним и тем же объектом могут фигурировать разные события, например, для игрального кубика характерно рассмотрение следующего набора:
– в результате броска игрального кубика выпадет 1 очко;
– … 2 очка;
– … 3 очка;
– … 4 очка;
– … 5 очков;
– … 6 очков.
События несовместны (поскольку появление какой-либо грани исключает одновременное появление других) и образуют полную группу (так как в результате испытания непременно появится одно из этих шести событий).
Ещё одно важное понятие, которое нам скоро потребуется – это элементарность исхода (события). Если совсем просто, то элементарное событие «нельзя разложить на другие события». Например, события элементарны, но событие не является таковым, так как подразумевает выпадение 1, 2, 3, 4 или 6 очков (включает в себя 5 элементарных исходов).
В примере с картами события (извлечение трефы, пики, червы или бубны соответственно) несовместны и образуют полную группу, но они неэлементарны. Если считать, что в колоде 36 карт, то каждое из перечисленных событий включает в себя 9 элементарных исходов. Аналогично – события (извлечение шестёрки, семёрки, …, короля, туза) несовместны, образуют полную группу и неэлементарны (каждое включает в себя 4 исхода).
Таким образом, элементарным исходом здесь считается лишь извлечение какой-то конкретной карты, и, разумеется, 36 несовместных элементарных исходов тоже образуют полную группу событий.
Совместные события менее значимы с точки зрения решения практических задач, но обходить их стороной не будем. События называются совместными, если в отдельно взятом испытании появление одного из них не исключает появление другого. Например:
– из колоды карт будет извлечена трефа;
– из колоды карт будет извлечена семёрка.
Если быть совсем лаконичным, одно не исключает другого.
Понятие совместности охватывает и бОльшее количество событий:
– завтра в 12.00 будет дождь;
– завтра в 12.00 будет гроза;
– завтра в 12.00 будет солнце.
Ситуация, конечно, довольно редкая, но совместное появление всех трёх событий в принципе не исключено. Следует отметить, что перечисленные события совместны и попарно, т.е. может быть только ливень с грозой или грибной дождик, или погромыхает неподалёку на фоне ясного неба.
Алгебра событий
Мужайтесь, будет и матан =)
Пожалуйста, запомните ВАЖНЕЙШЕЕ ПРАВИЛО, без которого освоить тервер просто нереально:
Операция сложения событий означает логическую связку ИЛИ,
а операция умножения событий – логическую связку И.
1) Суммой двух событий и называется событие которое состоит в том, что наступит или событие или событие или оба события одновременно. В том случае, если события несовместны, последний вариант отпадает, то есть может наступить или событие или событие .
Правило распространяется и на бОльшее количество слагаемых, например, событие состоит в том, что произойдёт хотя бы одно из событий , а если события несовместны – то одно и только одно событие из этой суммы: или событие , или событие , или событие , или событие , или событие .
События (при броске игральной кости не выпадет 5 очков) состоит в том, что выпадет или 1, или 2, или 3, или 4, или 6 очков.
Событие (выпадет не более двух очков) состоит в том, что появится 1 или 2 очка.
Событие (будет чётное число очков) состоит в том, что выпадет или 2 или 4 или 6 очков.
Событие заключается в том, что из колоды будет извлечена карта красной масти (черва или бубна), а событие – в том, что будет извлечена «картинка» (валет или дама или король или туз).
Чуть занятнее дело с совместными событиями:
Событие состоит в том, что из колоды будет извлечена трефа или семёрка или семёрка треф. Согласно данному выше определению, хотя бы что-то – или любая трефа или любая семёрка или их «пересечение» – семёрка треф. Легко подсчитать, что данному событию соответствует 12 элементарных исходов (9 трефовых карт + 3 оставшиеся семёрки).
Событие состоит в том, что завтра в 12.00 наступит ХОТЯ БЫ ОДНО из суммируемых совместных событий, а именно:
– или будет только дождь / только гроза / только солнце;
– или наступит только какая-нибудь пара событий (дождь + гроза / дождь + солнце / гроза + солнце);
– или все три события появятся одновременно.
То есть, событие включает в себя 7 возможных исходов.
Второй столп алгебры событий:
2) Произведением двух событий и называют событие , которое состоит в совместном появлении этих событий, иными словами, умножение означает, что при некоторых обстоятельствах наступит и событие , и событие . Аналогичное утверждение справедливо и для бОльшего количества событий, так, например, произведение подразумевает, что при определённых условиях произойдёт и событие , и событие , и событие , …, и событие .
Рассмотрим испытание, в котором подбрасываются две монеты и следующие события:
– на 1-й монете выпадет орёл;
– на 1-й монете выпадет решка;
– на 2-й монете выпадет орёл;
– на 2-й монете выпадет решка.
Тогда:
– событие состоит в том, что на обеих монетах (на 1-й и на 2-й) выпадет орёл;
– событие состоит в том, что на обеих монетах (на 1-й и на 2-й) выпадет решка;
– событие состоит в том, что на 1-й монете выпадет орёл и на 2-й монете решка;
– событие состоит в том, что на 1-й монете выпадет решка и на 2-й монете орёл.
Нетрудно заметить, что события несовместны (т.к. не может, например, выпасть 2 орла и в то же самое время 2 решки) и образуют полную группу (поскольку учтены все возможные исходы броска двух монет). Давайте просуммируем данные события: . Как интерпретировать эту запись? Очень просто – умножение означает логическую связку И, а сложение – ИЛИ. Таким образом, сумму легко прочитать понятным человеческим языком: «выпадут два орла или две решки или на 1-й монете выпадет орёл и на 2-й решка или на 1-й монете выпадет решка и на 2-й монете орёл »
Это был пример, когда в одном испытании задействовано несколько объектов, в данном случае – две монеты. Другая распространенная в практических задачах схема – это повторные испытания, когда, например, один и тот же игральный кубик бросается 3 раза подряд. В качестве демонстрации рассмотрим следующие события:
– в 1-м броске выпадет 4 очка;
– во 2-м броске выпадет 5 очков;
– в 3-м броске выпадет 6 очков.
Тогда событие состоит в том, что в 1-м броске выпадет 4 очка и во 2-м броске выпадет 5 очков и в 3-м броске выпадет 6 очков. Очевидно, что в случае с кубиком будет значительно больше комбинаций (исходов), чем, если бы мы подбрасывали монету.
…Понимаю, что, возможно, разбираются не очень интересные примеры, но это часто встречающиеся в задачах вещи и от них никуда не деться. Помимо монетки, кубика и колоды карт вас поджидают урны с разноцветными шарами, несколько анонимов, стреляющих по мишени, и неутомимый рабочий, который постоянно вытачивает какие-то детали =)
Вероятность события
Вероятность события – это центральное понятие теории вероятностей. …Убийственно логичная вещь, но с чего-то надо было начинать =) Существует несколько подходов к её определению:
В данной статье я остановлюсь на классическом определении вероятностей, которое находит наиболее широкое применение в учебных заданиях.
Обозначения. Вероятность некоторого события обозначается большой латинской буквой , а само событие берётся в скобки, выступая в роли своеобразного аргумента. Например:
– вероятность того, что в результате броска монеты выпадет «орёл»;
– вероятность того, что в результате броска игральной кости выпадет 5 очков;
– вероятность того, что из колоды будет извлечена карта трефовой масти.
Также для обозначения вероятности широко используется маленькая буква . В частности, можно отказаться от громоздких обозначений событий и их вероятностей в пользу следующей стилистики::
– вероятность того, что в результате броска монеты выпадет «орёл»;
– вероятность того, что в результате броска игральной кости выпадет 5 очков;
– вероятность того, что из колоды будет извлечена карта трефовой масти.
Данный вариант популярен при решении практических задач, поскольку позволяет заметно сократить запись решения. Как и в первом случае, здесь удобно использовать «говорящие» подстрочные/надстрочные индексы.
Все уже давно догадались о числах, которые я только что записал выше, и сейчас мы узнаем, как они получились:
Классическое определение вероятности:
Вероятностью наступления события в некотором испытании называют отношение , где:
– общее число всех равновозможных, элементарных исходов этого испытания, которые образуют полную группу событий;
– количество элементарных исходов, благоприятствующих событию .
При броске монеты может выпасть либо орёл, либо решка – данные события образуют полную группу, таким образом, общее число исходов ; при этом, каждый из них элементарен и равновозможен. Событию благоприятствует исход (выпадение орла). По классическому определению вероятностей: .
Аналогично – в результате броска кубика может появиться элементарных равновозможных исходов, образующих полную группу, а событию благоприятствует единственный исход (выпадение пятёрки). Поэтому: .
Особое внимание обращаю на третий пример. Здесь будет некорректным сказать «раз в колоде 4 масти, то вероятность извлечения трефы ». В определении речь идёт об элементарных исходах, поэтому правильный порядок рассуждений таков: всего в колоде 36 карт (несовместные элементарные исходы, образующие полную группу), из них 9 карт трефовой масти (кол-во элементарных исходов, благоприятствующих событию ); по классическому определению вероятности: . Именно так!
Вероятности можно выразить и в процентах, например: вероятность выпадение орла равна , выпадения пятёрки , извлечения трефы , но в теории вероятностей ЭТОГО ДЕЛАТЬ НЕ ПРИНЯТО (хотя не возбраняется прикидывать проценты в уме).
Принято использовать доли единицы, и, очевидно, что вероятность может изменяться в пределах . При этом если , то событие является невозможным, если – достоверным, а если , то речь идёт о случайном событии.
! Если в ходе решения любой задачи у вас получилось какое-то другое значение вероятности – ищите ошибку!
При классическом подходе к определению вероятности крайние значения (ноль и единица) получаются посредством точно таких же рассуждений. Пусть из некой урны, в которой находятся 10 красных шаров, наугад извлекается 1 шар. Рассмотрим следующие события:
– из урны будет извлечён красный шар;
– из урны будет извлечён зелёный шар.
Общее количество исходов: . Событию благоприятствуют все возможные исходы , следовательно, , то есть данное событие достоверно. Для 2-го же события благоприятствующие исходы отсутствуют , поэтому , то есть событие невозможно.
Особый интерес представляют события, вероятность наступления которых чрезвычайно мала. Хоть такие события и являются случайными, для них справедлив следующий постулат:
в единичном испытании маловозможное событие не произойдёт.
Именно поэтому Вы не сорвёте в лотерее Джек-пот, если вероятность этого события, скажем, равна 0,00000001. Да-да, именно Вы – с единственным билетом в каком-то конкретном тираже. Впрочем, бОльшее количество билетов и бОльшее количество розыгрышей Вам особо не помогут. . Когда я рассказываю об этом окружающим, то почти всегда в ответ слышу: «но ведь кто-то выигрывает». Хорошо, тогда давайте проведём следующий эксперимент: пожалуйста, сегодня или завтра купите билет любой лотереи (не откладывайте!). И если выиграете. ну, хотя бы больше 10 килорублей, обязательно отпишитесь – я объясню, почему это произошло. За процент, разумеется =) =)
Но грустить не нужно, потому что есть противоположный принцип: если вероятность некоторого события очень близка к единице, то в отдельно взятом испытании оно практически достоверно произойдёт. Поэтому перед прыжком с парашютом не надо бояться, наоборот – улыбайтесь! Ведь должны сложиться совершенно немыслимые и фантастические обстоятельства, чтобы отказали оба парашюта.
Хотя всё это лирика, поскольку в зависимости от содержания события первый принцип может оказаться весёлым, а второй – грустным; или вообще оба параллельными.
Пожалуй, пока достаточно, на уроке Задачи на классическое определение вероятности мы выжмем максимум из формулы . В заключительной же части этой статьи рассмотрим одну важную теорему:
Сумма вероятностей событий, которые образуют полную группу, равна единице. Грубо говоря, если события образуют полную группу, то со 100%-й вероятностью какое-то из них произойдёт. В самом простом случае полную группу образуют противоположные события, например:
– в результате броска монеты выпадет орёл;
– в результате броска монеты выпадет решка.
Совершенно понятно, что данные события равновозможны и их вероятности одинаковы .
По причине равенства вероятностей равновозможные события часто называют равновероятными. А вот и скороговорка на определение степени опьянения получилась =)
Пример с кубиком: события противоположны, поэтому .
Рассматриваемая теорема удобна тем, что позволяет быстро найти вероятность противоположного события. Так, если известна вероятность того, что выпадет пятёрка, легко вычислить вероятность того, что она не выпадет:
Это гораздо проще, чем суммировать вероятности пяти элементарных исходов. Для элементарных исходов, к слову, данная теорема тоже справедлива:
События , как отмечалось выше, равновозможны – и теперь мы можем сказать, что равновероятны. Вероятность выпадения любой грани кубика равна :
Ну и на закуску колода: поскольку нам известна вероятность того, что будет извлечена трефа, то легко найти вероятность того, что будет извлечена карта другой масти:
Заметьте, что рассмотренные пары событий и не равновероятны, как оно чаще всего и бывает.
В упрощенной версии записи решения вероятность противоположного события стандартно обозначается строчной буквой . Например, если – вероятность того, что стрелок попадёт в цель, то – вероятность того, что он промахнётся.
! В теории вероятностей буквы и нежелательно использовать в каких-то других целях.
В честь Дня Знаний я не буду задавать домашнее задание =), но очень важно, чтобы вы могли ответить на следующие вопросы:
– Какие виды событий существуют?
– Что такое случайность и равновозможность события?
– Как вы понимаете термины совместность/несовместность событий?
– Что такое полная группа событий, противоположные события?
– Что означает сложение и умножение событий?
– В чём суть классического определения вероятности?
– Чем полезна теорема сложения вероятностей событий, образующих полную группу?
Нет, зубрить ничего не надо, это всего лишь азы теории вероятностей – своеобразный букварь, который довольно быстро уложится в голове. И чтобы это произошло как можно скорее, предлагаю ознакомиться с уроками Задачи по комбинаторике и Задачи на классическое определение вероятности.
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,
cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5
© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2023. Копирование материалов сайта запрещено
Задачи на классическое определение вероятности.
Примеры решений
На третьем уроке мы рассмотрим различные задачи, касающиеся непосредственного применения классического определения вероятности. Для эффективного изучения материалов данной статьи рекомендую ознакомиться с базовыми понятиями теории вероятностей и основами комбинаторики. Задача на классическое определение вероятности с вероятностью, стремящейся к единице, будет присутствовать в вашей самостоятельной/контрольной работе по терверу, поэтому настраиваемся на серьёзную работу. Вы спросите, чего тут серьёзного? …всего-то одна примитивная формула . Предостерегаю от легкомыслия – тематические задания достаточно разнообразны, и многие из них запросто могут поставить в тупик. В этой связи помимо проработки основного урока, постарайтесь изучить дополнительные задачи по теме, которые находятся в копилке готовых решений по высшей математике. Приёмы решения приёмами решения, а «друзей» всё-таки «надо знать в лицо», ибо даже богатая фантазия ограничена и типовых задач тоже хватает. Ну а я постараюсь в хорошем качестве разобрать максимальное их количество.
Вспоминаем классику жанра:
Вероятность наступления события в некотором испытании равна отношению , где:
– общее число всех равновозможных, элементарных исходов данного испытания, которые образуют полную группу событий;
– количество элементарных исходов, благоприятствующих событию .
И сразу незамедлительный пит-стоп. Понятны ли вам подчёркнутые термины? Имеется ввиду чёткое, а не интуитивное понимание. Если нет, то всё-таки лучше вернуться к 1-й статье по теории вероятностей и только после этого ехать дальше.
Пожалуйста, не пропускайте первые примеры – в них я повторю один принципиально важный момент, а также расскажу, как правильно оформлять решение и какими способами это можно сделать:
В урне находится 15 белых, 5 красных и 10 чёрных шаров. Наугад извлекается 1 шар, найти вероятность того, что он будет: а) белым, б) красным, в) чёрным.
Решение: важнейшей предпосылкой для использования классического определения вероятности является возможность подсчёта общего количества исходов.
Всего в урне: 15 + 5 + 10 = 30 шаров, и, очевидно, справедливы следующие факты:
– извлечение любого шара одинаково возможно (равновозможность исходов), при этом исходы элементарны и образуют полную группу событий (т.е. в результате испытания обязательно будет извлечён какой-то один из 30 шаров).
Таким образом, общее число исходов:
Рассмотрим событие: – из урны будет извлечён белый шар. Данному событию благоприятствуют элементарных исходов, поэтому по классическому определению:
– вероятность того, то из урны будет извлечён белый шар.
Как ни странно, даже в такой простой задаче можно допустить серьёзную неточность, на которой я уже заострял внимание в первой статье по теории вероятностей. Где здесь подводный камень? Здесь некорректно рассуждать, что «раз половина шаров белые, то вероятность извлечения белого шара ». В классическом определении вероятности речь идёт об ЭЛЕМЕНТАРНЫХ исходах, и дробь следует обязательно прописать!
С другими пунктами аналогично, рассмотрим следующие события:
– из урны будет извлечён красный шар;
– из урны будет извлечён чёрный шар.
Событию благоприятствует 5 элементарных исходов, а событию – 10 элементарных исходов. Таким образом, соответствующие вероятности:
Типичная проверка многих задач по терверу осуществляется с помощью теоремы о сумме вероятностей событий, образующих полную группу. В нашем случае события образуют полную группу, а значит, сумма соответствующих вероятностей должна обязательно равняться единице: .
Проверим, так ли это: , в чём и хотелось убедиться.
Ответ:
В принципе, ответ можно записать и подробнее, но лично я привык ставить туда только числа – по той причине, что когда начинаешь «штамповать» задачи сотнями и тысячами, то стремишься максимально сократить запись решения. К слову, о краткости: на практике распространён «скоростной» вариант оформления решения:
Всего: 15 + 5 + 10 = 30 шаров в урне. По классическому определению:
– вероятность того, то из урны будет извлечён белый шар;
– вероятность того, то из урны будет извлечён красный шар;
– вероятность того, то из урны будет извлечён чёрный шар.
Ответ:
Однако если в условии несколько пунктов, то решение зачастую удобнее оформить первым способом, который отнимает чуть больше времени, но зато всё «раскладывает по полочкам» и позволяет легче сориентироваться в задаче.
В магазин поступило 30 холодильников, пять из которых имеют заводской дефект. Случайным образом выбирают один холодильник. Какова вероятность того, что он будет без дефекта?
Выберите целесообразный вариант оформления и сверьтесь с образцом внизу страницы.
В простейших примерах количество общих и количество благоприятствующих исходов лежат на поверхности, но в большинстве случаев картошку приходится выкапывать самостоятельно. Каноничная серия задач о забывчивом абоненте:
Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры, но помнит, что одна из них – ноль, а другая – нечётная. Найти вероятность того, что он наберёт правильный номер.
Примечание: ноль – это чётное число (делится на 2 без остатка)
Решение: сначала найдём общее количество исходов. По условию, абонент помнит, что одна из цифр – ноль, а другая цифра – нечётная. Здесь рациональнее не мудрить с комбинаторикой и воспользоваться методом прямого перечисления исходов. То есть, при оформлении решения просто записываем все возможные комбинации:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90
и подсчитываем их – всего: 10 исходов.
Благоприятствующий исход один: верный номер.
По классическому определению:
– вероятность того, что абонент наберёт правильный номер
Ответ: 0,1
Десятичные дроби в теории вероятностей смотрятся вполне уместно, но можно придерживаться и традиционного вышматовского стиля, оперируя только обыкновенными дробями.
Продвинутая задача для самостоятельного решения:
Абонент забыл пин-код к своей сим-карте, однако помнит, что он содержит три «пятёрки», а одна из цифр – то ли «семёрка», то ли «восьмёрка». Какова вероятность успешной авторизации с первой попытки?
Здесь ещё можно развить мысль о вероятности того, что абонента ждёт кара в виде пук-кода, но, к сожалению, рассуждения уже выйдут за рамки данного урока
Решение и ответ внизу.
Иногда перечисление комбинаций оказывается весьма кропотливым занятием. В частности, так обстоят дела в следующей, не менее популярной группе задач, где подкидываются 2 игральных кубика (реже – бОльшее количество):
Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей в сумме выпадет:
а) пять очков;
б) не более четырёх очков;
в) от 3 до 9 очков включительно.
Решение: найдём общее количество исходов:
способами может выпасть грань 1-го кубика и способами может выпасть грань 2-го кубика; по правилу умножения комбинаций, всего: возможных комбинаций. Иными словами, каждая грань 1-го кубика может составить упорядоченную пару с каждой гранью 2-го кубика. Условимся записывать такую пару в виде , где – цифра, выпавшая на 1-м кубике, – цифра, выпавшая на 2-м кубике. Например:
– на первом кубике выпало 3 очка, на втором – 5 очков, сумма очков: 3 + 5 = 8;
– на первом кубике выпало 6 очков, на втором – 1 очко, сумма очков: 6 + 1 = 7;
– на обеих костях выпало 2 очка, сумма: 2 + 2 = 4.
Очевидно, что наименьшую сумму даёт пара , а наибольшую – две «шестёрки».
а) Рассмотрим событие: – при бросании двух игральных костей выпадет 5 очков. Запишем и подсчитаем количество исходов, которые благоприятствуют данному событию:
Итого: 4 благоприятствующих исхода. По классическому определению:
– искомая вероятность.
б) Рассмотрим событие: – выпадет не более 4 очков. То есть, либо 2, либо 3, либо 4 очка. Снова перечисляем и подсчитываем благоприятствующие комбинации, слева я буду записывать суммарное количество очков, а после двоеточия – подходящие пары:
Итого: 6 благоприятствующих комбинаций. Таким образом:
– вероятность того, что выпадет не более 4 очков.
в) Рассмотрим событие: – выпадет от 3 до 9 очков включительно. Здесь можно пойти прямой дорогой, но… что-то не хочется. Да, некоторые пары уже перечислены в предыдущих пунктах, но работы все равно предстоит многовато.
Как лучше поступить? В подобных случаях рациональным оказывается окольный путь. Рассмотрим противоположное событие: – выпадет 2 или 10 или 11 или 12 очков.
В чём смысл? Противоположному событию благоприятствует значительно меньшее количество пар:
Итого: 7 благоприятствующих исходов.
По классическому определению:
– вероятность того, что выпадет меньше трёх или больше 9 очков.
Далее пользуемся тем, что сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
– вероятность того, что выпадет от 3 до 9 очков включительно.
Особо щепетильные люди могут перечислить все 29 пар, выполнив тем самым проверку.
Ответ:
В следующей задаче повторим таблицу умножения:
Найти вероятность того, что при броске двух игральных костей произведение очков:
а) будет равно семи;
б) окажется не менее 20;
в) будет чётным.
Краткое решение и ответ в конце урока.
Рассмотренная задача встречается и в других вариациях, несколько дополнительных примеров по сабжу можно найти в соответствующем сборнике на странице Готовые решения по высшей математике.
Помимо прямого перечисления и подсчёта исходов, в ходу также различные комбинаторные формулы. И снова эпичная задача про лифт:
В лифт 20-этажного дома на первом этаже зашли 3 человека. И поехали. Найти вероятность того, что:
а) они выйдут на разных этажах
б) двое выйдут на одном этаже;
в) все выйдут на одном этаже.
Следует отметить, что случайность здесь имеет место быть лишь с точки зрения стороннего наблюдателя (т.к. человек обычно едет на вполне определённый этаж).
Решение: вычислим общее количество исходов: способами может выйти из лифта 1-й пассажир и способами – 2-й пассажир и способами – третий пассажир. По правилу умножения комбинаций: возможных исходов. То есть, каждый этаж выхода 1-го человека может комбинироваться с каждым этажом выхода 2-го человека и с каждым этажом выхода 3-го человека.
Второй способ основан на размещениях с повторениями:
– кому как понятнее.
а) Рассмотрим событие: – пассажиры выйдут на разных этажах. Вычислим количество благоприятствующих исходов:
способами могут выйти 3 пассажира на разных этажах. Рассуждения по формуле проведите самостоятельно.
По классическому определению:
Теперь подумаем вот над какой вещью: пункт «бэ» достаточно сложен (см. Задачу 11 урока по комбинаторике), и значительная часть студентов, которые не в теме, просто не справится с этим пунктом. Но только не те, которые прочитают пару следующих абзацев!
в) Рассмотрим событие: – пассажиры выйдут на одном этаже. Данному событию благоприятствуют исходов и по классическому определению, соответствующая вероятность: .
Заходим с чёрного хода:
б) Рассмотрим событие: – два человека выйдут на одном этаже (и, соответственно, третий – на другом).
События образуют полную группу (считаем, что в лифте никто не уснёт и лифт не застрянет =)), а значит, .
В результате, искомая вероятность:
Таким образом, теорема о сложении вероятностей событий, образующих полную группу, может быть не только удобной, но и стать самой настоящей палочкой-выручалочкой!
Ответ:
Когда получаются большие дроби, то хорошим тоном будет указать их приближенные десятичные значения. Обычно округляют до 2-3-4 знаков после запятой.
Поскольку события пунктов «а», «бэ», «вэ» образуют полную группу, то есть смысл выполнить контрольную проверку, причём, лучше с приближенными значениями:
, что и требовалось проверить
Иногда по причине погрешности округлений может получиться 0,9999 либо 1,0001, в этом случае одно из приближенных значений следуют «подогнать» так, чтобы в сумме нарисовалась «чистая» единица.
Подбрасывается 10 монет. Найти вероятность того, что:
а) на всех монетах выпадет орёл;
б) на 9 монетах выпадет орёл, а на одной – решка;
в) орёл выпадет на половине монет.
Краткое решение и ответ в конце урока.
Ничего страшного, если не получаются какие-то задачи или отдельные пункты – главное, стремитесь РАССУЖДАТЬ, ДУМАЙТЕ (пусть и не всегда успешно). В теории вероятностей плохо работает принцип «если дано то-то, то решать нужно так-то». И следующий пример – хорошее тому подтверждение:
На семиместную скамейку случайным образом рассаживается 7 человек. Какова вероятность того, что два определённых человека окажутся рядом?
Решение: с общим количеством исходов проблем не возникает:
способами могут рассесться 7 человек на скамейке.
Но вот как подсчитать количество благоприятствующих исходов? Тривиальные формулы не подходят и единственный путь – это логические рассуждения. Сначала рассмотрим ситуацию, когда Саша и Маша оказались рядом на левом краю скамейки:
Очевидно, что порядок имеет значение: слева может сидеть Саша, справа Маша и наоборот. Но это ещё не всё – для каждого из этих двух случаев остальные люди могут рассесться на свободных местах способами. Выражаясь комбинаторно, Сашу и Машу можно переставить на соседних местах способами и для каждой такой перестановки других людей можно переставить способами.
Таким образом, по правилу умножения комбинаций, выходит благоприятствующих исходов.
Но и это ещё не всё! Перечисленные факты справедливы для каждой пары соседних мест:
Интересно отметить, что если скамейку «скруглить» (соединяя левое и правое место), то образуется дополнительная, седьмая пара соседних мест. Но не будем отвлекаться. Согласно тому же принципу умножения комбинаций, получаем окончательное количество благоприятствующих исходов:
По классическому определению:
– вероятность того, что два определённых человека окажутся рядом.
Ответ:
Советую всегда снабжать подобные задачи схематическим рисунком, поскольку «голые» словесные комментарии чреваты ошибками – даже если и не запутаетесь, то можете запросто обсчитаться.
Один из читателей предложил следующее решение: способами можно выбрать места для двух определённых людей (общее число исходов), и благоприятствующее число исходов рассчитывается из тех же соображений, что в решении выше: , тогда: .
Такой вариант, в принципе, допустИм, но не совсем корректен, так как классическое определение должно учитывать все элементарные исходы (взаимное расположение семи человек). Предложенное решение больше подойдёт для задачи, где не принимаются во внимание другие люди, например: «Два человека независимо друг от друга покупают два билета в пустой ряд из 7 мест. Какова вероятность того, что они окажутся рядом?» – здесь оставшиеся 5 мест могут вообще остаться не занятыми.
Пожалуй, самая трудная задача урока:
На шахматную доску из 64 клеток ставят наудачу две ладьи, белого и чёрного цвета. С какой вероятностью они не будут «бить» друг друга?
Справка: шахматная доска имеет размер клеток; черная и белая ладьи «бьют» друг друга, когда располагаются на одной горизонтали или на одной вертикали
Обязательно выполните схематический чертёж доски, а ещё лучше, если неподалёку есть шахматы. Одно дело рассуждения на бумаге, и совсем другое – когда расставляешь фигуры собственными руками. И ещё тут почему-то часто начинают рассуждать о порядке выставления ладей – здесь это не имеет значения, ладьи могут выставляться в каком угодно порядке, хоть одновременно – имеет значение их взаимное расположение.
Моя версия решения в конце урока. Говорю так, потому что, возможно, существуют другие способы. И они действительно существуют! – прошло совсем немного времени со дня публикации статьи, и один из посетителей сайта прислал более короткое и рациональное решение, которое тоже приведено ниже. Я очень рад, что эти уроки превращаются в самую настоящую творческую лабораторию!
В заключительной части статьи рассмотрим очень распространённый тип задач на классическое определение вероятности, который встречается чуть ли не в половине случаев:
Какова вероятность того, что в четырех сданных картах будет один туз и один король?
Решение: коль скоро неизвестный автор умолчал о колоде, будем считать, что в ней 36 карт. Ну а зачем нам больше? =)
Вычислим общее количество исходов. Сколькими способами можно извлечь 4 карты из колоды? Наверное, все поняли, что речь идёт о количестве сочетаний:
способами можно выбрать 4 карты из колоды.
Теперь считаем благоприятствующие исходы. По условию, в выборке из 4 карт должен быть один туз, один король и, о чём не сказано открытым текстом, – две другие карты:
способами можно извлечь одного туза;
способами можно выбрать одного короля.
Исключаем из рассмотрения тузов и королей: 36 – 4 – 4 = 28
способами можно извлечь две другие карты.
По правилу умножения комбинаций:
способами можно извлечь искомую комбинацию карт (одного туза и одного короля и две другие карты).
Прокомментирую комбинационный смысл записи другим способом:
каждый туз комбинируется с каждым королем и с каждой возможной парой других карт.
По классическому определению:
– вероятность того, что среди четырех сданных карт будет один туз и один король.
Если хватает времени и терпения, максимально сокращайте большие дроби.
Ответ:
Более простая задача для самостоятельного решения:
В ящике находится 15 качественных и 5 бракованных деталей. Наудачу извлекаются 2 детали. Найти вероятность того, что:
а) обе детали будут качественными;
б) одна деталь будет качественной, а одна – бракованной;
в) обе детали бракованны.
События перечисленных пунктов образуют полную группу, поэтому проверка здесь напрашивается сама собой. Краткое решение и ответ в конце урока. А вообще, всё самое интересное только начинается!
Следующая задача очень распространена и актуальна для многих читателей. Когда она встречается, то я всегда думаю: «чего же он так много выучил-то?!». Поэтому сделаю пример более реалистичным =):
Студент знает ответы на 25 экзаменационных вопросов из 60. Какова вероятность сдать экзамен, если для этого необходимо ответить не менее чем на два из трёх вопросов?
Решение: итак, расклад таков: всего 60 вопросов, среди которых 25 «хороших» и, соответственно, 60 – 25 = 35 «плохих». Ситуация шаткая и не в пользу студента. Давайте узнаем, насколько хороши его шансы:
способами можно выбрать 3 вопроса из 60 (общее количество исходов).
Для того чтобы сдать экзамен, нужно ответить на 2 или 3 вопроса. Считаем благоприятствующие комбинации:
способами можно выбрать 2 «хороших» вопроса и один «плохой»;
способами можно выбрать 3 «хороших» вопроса.
По правилу сложения комбинаций:
способами можно выбрать благоприятствующую для сдачи экзамена комбинацию 3 вопросов (без разницы с двумя или тремя «хорошими» вопросами).
По классическому определению:
– вероятность того, что студент сдаст экзамен.
Ответ:
Да, конечно, «не фонтан», но и не всё так безнадёжно, к тому же всегда есть шансы что-нибудь родить и при ответе на «плохие» вопросы.
Популярная игра для самостоятельного исследования:
Игроку в покер сдаётся 5 карт. Найти вероятность того, что он получит:
а) пару десяток и пару валетов;
б) флеш (5 карт одной масти);
в) каре (4 карты одного номинала).
Какую из перечисленных комбинаций вероятнее всего получить?
! Внимание! Если в условии задан подобный вопрос, то на него необходимо дать ответ.
В противном случае задание с высокой вероятностью не зачтут.
Справка: в покер традиционно играют 52-карточной колодой, которая содержит карты 4 мастей номиналом от «двоек» до тузов.
Покер – игра самая что ни на есть математическая (кто играет, тот знает), в которой можно обладать заметным преимуществом перед менее квалифицированными соперниками. Хотя, по моему субъективному впечатлению, «звёзды» покера, «набившие» миллионные состояния, не столько расчётливы, сколько сверхобострённо чувствуют своих оппонентов. И это особый дар, который не относится к математике.
Хотел ещё разобрать 15-й задачей вероятность выигрыша в какую-нибудь из известных лотерей, но выкладки оказались достаточно сложными. В лотереях, которые я рассмотрел, фигурируют дополнительные условия и ограничения, словно специально призванные затруднить использование комбинаторных формул =) Впрочем, переживать не будем, поскольку на поставленный вопрос быстро и эффективно ответит статистическое определение вероятности.
Наше увлекательное занятие подошло к концу, и напоследок ещё раз настоятельно рекомендую если не прорешать, то хотя бы разобраться в дополнительных задачах на классическое определение вероятности. Как я уже отмечал, «набивка руки» тоже имеет значение!
Решения и ответы:
Задача 2: Решение: 30 – 5 = 25 холодильников не имеют дефекта.
По классическому определению:
– вероятность того, что наугад выбранный холодильник не имеет дефекта.
Ответ:
Задача 4: Решение: найдём общее число исходов:
способами можно выбрать место, на котором расположена сомнительная цифра и на каждом из этих 4 мест могут располагаться 2 цифры (семёрка или восьмёрка). По правилу умножения комбинаций, общее число исходов: .
Как вариант, в решении можно просто перечислить все исходы (благо их немного):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
Благоприятствующий исход один (правильный пин-код).
Таким образом, по классическому определению:
– вероятность того, что абонент авторизируется с 1-й попытки
Ответ:
Задача 6: Решение: найдём общее количество исходов:
способами могут выпасть цифры на 2 кубиках.
а) Рассмотрим событие: – при броске двух игральных костей произведение очков будет равно семи. Для данного события не существует благоприятствующих исходов, по классическому определению вероятности:
, т.е. это событие является невозможным.
б) Рассмотрим событие: – при броске двух игральных костей произведение очков окажется не менее 20. Данному событию благоприятствуют следующие исходы:
Итого: 8
По классическому определению:
– искомая вероятность.
в) Рассмотрим противоположные события:
– произведение очков будет чётным;
– произведение очков будет нечётным.
Перечислим все исходы, благоприятствующие событию :
Итого: 9 благоприятствующих исходов.
По классическому определению вероятности:
Противоположные события образуют полную группу, поэтому:
– искомая вероятность.
Задача 8: Решение: вычислим общее количество исходов: способами могут упасть 10 монет.
Другой путь: способами может упасть 1-я монета и способами может упасть 2-я монета и … и способами может упасть 10-я монета. По правилу умножения комбинаций, 10 монет могут упасть способами.
а) Рассмотрим событие: – на всех монетах выпадет орёл. Данному событию благоприятствует единственный исход, по классическому определению вероятности: .
б) Рассмотрим событие: – на 9 монетах выпадет орёл, а на одной – решка.
Существует монет, на которых может выпасть решка. По классическому определению вероятности: .
в) Рассмотрим событие: – орёл выпадет на половине монет.
Существует уникальных комбинаций из пяти монет, на которых может выпасть орёл. По классическому определению вероятности:
Ответ:
Задача 10: Способ первый: вычислим общее количество исходов:
способами можно расставить двух ладей на доске.
Другой вариант оформления: способами можно выбрать две клетки шахматной доски и способами поставить белую и чёрную ладью в каждом из 2016 случаев. Таким образом, общее число исходов: .
Теперь подсчитаем исходы, в которых ладьи «бьют» друг друга. Рассмотрим 1-ю горизонталь. Очевидно, что фигуры можно расставить на ней произвольным образом, например, так:
Кроме того, ладей можно переставить. Придаём рассуждениям числовую форму: способами можно выбрать две клетки и способами переставить ладей в каждом из 28 случаев. Всего: возможных расположений фигур на горизонтали.
Короткая версия оформления: способами можно разместить белую и чёрную ладью на 1-й горизонтали.
Проведённые рассуждения справедливы для каждой горизонтали, поэтому количество комбинаций следует умножить на восемь: . Кроме того, аналогичная история справедлива для любой из восьми вертикалей. Вычислим итоговое количество расстановок, в которых фигуры «бьют» друг друга:
Тогда в оставшихся вариантах расстановки ладьи не будут «бить» друг друга:
4032 – 896 = 3136
По классическому определению вероятности:
– вероятность того, что наугад поставленные на доску белая и чёрная ладья не будут «бить» друг друга.
Способ второй: способами можно поставить на доску одну ладью и для каждого из этих 64 случаев другая ладья может выставлена на любую из свободных клеток (проанализируйте, что это рассуждение учитывает все расстановки белой и черной ладей). Таким образом, по правилу умножения комбинаций: – общее число исходов.
Для каждого из 64 способов расстановки одной ладьи она будет «бить» другую ладью, если последняя окажется на любой из 7 свободных клеток той же горизонтали или 7 свободных клеток той же вертикали (итого 14 клеток). Следовательно, существует расстановок ладей, в которых они «бьют» друг друга. По классическому определению вероятности:
– вероятность того, что наугад поставленные на доску белая и чёрная ладья будут «бить» друг друга.
Тогда вероятность противоположного события:
Ответ:
Задача 12: Решение: всего: 15 + 5 = 20 деталей в ящике. Вычислим общее число исходов:
способами можно извлечь 2 детали из ящика.
а) Рассмотрим событие: – обе извлечённые детали будут качественными.
способами можно извлечь 2 качественные детали.
По классическому определению вероятности:
б) Рассмотрим событие: – одна деталь будет качественной, а одна – бракованной.
способами можно извлечь 1 качественную деталь и 1 бракованную.
По классическому определению:
в) Рассмотрим событие: – обе извлечённые детали бракованны.
способами можно извлечь 2 бракованные детали.
По классическому определению:
Проверка: вычислим сумму вероятностей событий, образующих полную группу: , что и требовалось проверить.
Ответ:
Задача 14: Решение: найдём общее число исходов:
способами можно сдать 5 карт.
а) способами можно сдать две десятки;
способами можно сдать двух валетов;
Количество других карт в колоде: 52 – 4 – 4 = 44
способами можно сдать другую карту.
По правилу умножения комбинаций:
способами можно сдать 5 карт, среди которых будет пара десяток и пара валетов.
По классическому определению:
б) В колоде: 52 / 4 = 13 карт каждой масти.
способами можно сдать 5 карт какой-то одной из мастей.
По правилу сложения комбинаций:
способами можно сдать флеш (без разницы какой масти).
По классическому определению:
в) Четыре карты одного номинала можно сдать 13 способами (2222, 3333, 4444, …, КККК, ТТТТ). Кроме того, для каждого из этих 13 случаев пятую карту можно сдать способами. Таким образом, по теореме умножения комбинаций, каре можно сдать способами.
По классическому определению:
Ответ:
Из перечисленных комбинаций вероятнее всего получить флеш.
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,
cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5
Теория вероятностей
В этой статье мы расскажем кратко о том, что такое вероятность события. Дадим определение вероятности, введем понятия зависимых и независимых, совместных и несовместных событий. Объясним, что такое сумма событий и произведение событий.
Больше задач – в статье «Задание 2 Профильного ЕГЭ по математике. Теория вероятностей».
Случайным называется событие, которое невозможно точно предсказать заранее. Оно может либо произойти, либо нет. Теория вероятностей изучает случайные события и их закономерности, а также случайные величины и действия над ними.
Благоприятным мы называем исход, способствующий наступлению данного события.
Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.
Очевидно, что вероятность – величина положительная и не может быть больше единицы.
Например, перед экзаменом вы выучили 3 билета из 20. Вероятность вытянуть счастливый билет равна
Вот две простых задачи из вариантов ЕГЭ, где применяется определение вероятности:
1. На борту самолёта 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир Иванов высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру Иванову достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.
В самолете 21+18=30 мест, удобных для Иванова. Всего в самолете 400 мест. Поэтому вероятность того, что пассажир Иванов получит удобное место, равна 30 : 300 = 0,1.
Просто применили определение вероятности.
2. В группе туристов 32 человека. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 4 человека за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист К. полетит пятым рейсом вертолёта.
Каждый рейс, в том числе и пятый, перевозит 4 человек из 32. Вероятность полететь пятым рейсом:
События, взаимоисключающие друг друга в рамках данной задачи, называются несовместными. Появление одного из несовместных событий исключает появление других.
Например, вы бросаете монету. «Выпал орел» и «выпала решка» — несовместные события.
Сумма двух событий – термин, означающий, что произошло или первое событие, или второе, или оба сразу.
Вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей.
Вы бросаете игральную кость. Вероятность выпадения «тройки» равна Вероятность выпадения «шестерки» также равна
Вероятность выпадения числа, которое делится на 3,
Произведение двух событий – термин, означающий, что произошло и одно, и другое событие.
События А и В называют независимыми, если вероятность появления события А не меняет вероятности появления события В.
Для нескольких независимых событий вероятность того, что все они произойдут, равна произведению вероятностей.
3. Говорят, что в старину каждый десятый на Руси был Иван, а каждый двадцатый Петр. Если это верно, то кого было больше: Иванов Петровичей или Петров Ивановичей?
Можно по-разному решать эту задачу, и вероятностный подход здесь тоже применим. Посчитаем вероятности двух событий
Событие А. Случайно выбранного мужчину зовут Иван Петрович
Событие В. Мужчину зовут Петр Иванович.
Вероятность быть Иваном Петровичем для жившего в старину россиянина равна Мы перемножили вероятности того, что наш древнерусский житель – Иван и что его отца зовут Петр.
А вероятность оказаться Петром Ивановичем точно такая же:
4. (ЕГЭ) Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с ве-роятностью 0,5. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,32. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
Шахматист А. играет две партии, одну – белыми фигурами, другую – черными. События «выиграть белыми» и «выиграть черными фигурами» независимы. Вероятность того, что шахматист А. выиграет оба раза, равна произведению вероятностей выигрышей в каждой партии: 0,5 · 0,32 = 0,16.
5. (ЕГЭ) В классе 26 человек, среди них два друга — Андрей и Сергей. Класс случайным образом разбивают на 2 группы по 13 человек. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.
Пусть Андрей первым занял место в группе (неважно, в какой). И, кроме него, осталось еще 25 человек, среди которых его друг Сергей. Сколько у Сергея шансов оказаться в той же группе, что и Андрей? В группе должно быть 13 человек, то есть Андрей и еще 12. Значит, вероятность того, что Сергей окажется в той же группе, что и Андрей, равна , то есть 0,48.
Следующую задачу можно решить методами комбинаторики – например, с помощью формулы Бернулли. Однако в обычной школе не изучают комбинаторику, и тем не менее эта задача появилась в сборниках для подготовки к ЕГЭ.
Лень разбираться самому?
Присоединяйся к мини-курсу по теории вероятностей
6. Монету бросают 10 раз. Во сколько раз событие «Орел выпадет ровно 8 раз» более вероятно, чем событие «Орел выпадет ровно 9 раз»?
Начнем с числа возможных исходов. Если мы бросаем монету, возможных исходов два – орел или решка.
Бросим монету два раза (или две монеты одновременно, все равно). И вот уже 4 возможных исхода:
ОО
ОР
РО
РР
(буквой О обозначен выпавший «орел», буквой «р» — решка.
Каждый следующий бросок монеты увеличивает число возможных исходов в 2 раза (орел или решка).
Для 10 бросков монеты количество возможных исходов, очевидно, равно
По определению, вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.
Рассмотрим случай, когда орел выпадет ровно 9 раз из 10 бросков монеты. Это значит, что решка выпала ровно 1 раз.
Это могло произойти при первом броске, при втором, при третьем… и, наконец, при десятом, всего 10 благоприятных исходов. Вероятность выпадения решки ровно 1 раз из 10 бросков
Теперь случай, когда орел выпал ровно 8 раз из 10 бросков монеты. Значит, решка выпала ровно 2 раза.
Пронумеруем броски: 1,2,3…10.
Решка могла выпасть в первый и во второй раз. Обозначим эту комбинацию 12.
Могла также выпасть в первый и третий раз, в первый и четвертый… Эти комбинации обозначаем как 13, 14…
Пронумеруем таким образом все благоприятные исходы.
12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1 10
23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 2 10
34, 35, 36, 37, 38, 39, 3 10
45, 46, 47, 48, 49, 4 10
56, 57, 58, 59, 5 10
9 10
Количество благоприятных исходов равно 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45.
Поделив на , получим, во сколько раз выпадение решки ровно 8 раз более вероятно, чем выпадение решки ровно 9 раз:
Разберем какую-нибудь типовую задачу ЕГЭ по теме «Теория вероятностей». Такую, в которой мы рисуем «дерево» возможных исходов.
7. (ЕГЭ) Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
Изобразим все возможные исходы.
По условию, купленное в магазине стекло для автомобильной фары оказалось бракованным. Как это могло получиться?
Стекло сделано либо на первой фабрике, либо на второй. Эти события несовместны.
Вероятность того, что стекло с первой фабрики, равна 0,45.
Вероятность того, что стекло сделано на второй фабрике, равна 0,55.
Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол. Значит, с вероятностью 0,03 стекло, произведенное на первой фабрике, бракованное.
Вторая фабрика выпускает 1% бракованных стекол. Значит, с вероятностью 0,01 сделанное на ней стекло бракованное.
Покупатель купил бракованное стекло. Оно могло быть сделано на первой фабрике и оказалось бракованным. Это означает одновременное наступление, или произведение, двух независимых случайных событий – «стекло сделано на первой фабрике» и «стекло бракованное». Вероятность произведения этих двух событий равна
Или другой случай. Стекло могло быть со второй фабрики и также бракованное. Вероятность одновременного наступления этих двух событий равна События «стекло с первой фабрики» и «стекло со второй фабрики» несовместны – они не могут случиться одновременно.
Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей.
Значит, вероятность купить бракованное стекло равна:
Следующая задача будет интересна и старшеклассникам, и студентам. В самом деле – как быть, если вы пришли на экзамен, выучив всего 20 билетов из 30? Идти отвечать первым? Или вторым? Или предпоследним? В каком случае вероятность вытянуть билет, который ты выучил, будет наибольшей?
8. Экзамен проходит по следующей схеме: если некоторый билет уже был вытянут, то после ответа экзаменатор откладывает его в сторону. Студент выучил 20 билетов из 30. Когда ему выгоднее идти, первым или вторым, чтобы вероятность вынуть выученный билет была больше?
Назовем билеты, которые студент выучил, «счастливыми».
Если студент пошел отвечать первым, вероятность вытянуть «счастливый» билет равна
Если идти отвечать вторым, возможны два случая:
1) Первый билет, который вытянул кто-то другой, был «счастливым», и тогда «счастливых» билетов теперь 19.
2) Первый билет не был «счастливым», и «счастливых» билетов так и осталось 20.
Нарисуем схему возможных исходов, как всегда делаем в подобных задачах:
Вот наш студент идет отвечать вторым. Вероятность вытянуть «счастливый» билет равна Удивительный ответ! Та же самая вероятность! Значит, неважно, первым или вторым идти отвечать, если ты выучил 20 билетов из 30.
Конечно, это были самые простые задачи по теории вероятностей. Такие, которые встречаются на ЕГЭ по математике.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Теория вероятностей» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена: 05.10.2023
Простые задачи по теории вероятности. Основная формула.
В статье рассмотрим задачи ЕГЭ по теории вероятности (B6), приведенные к настоящему моменту в открытом банке задач ЕГЭ по математике (mathege.ru), решение которых основано на одной лишь формуле, представляющей собой классическое определение вероятности.
Понять формулу проще всего на примерах.
Пример 1. В корзине 9 красных шаров и 3 синих. Шары различаются только цветом. Наугад (не глядя) достаём один из них. Какова вероятность того, что выбранный таким образом шар окажется синего цвета?
Комментарий. В задачах по теории вероятности происходит нечто (в данном случае наше действие по вытаскиванию шара), что может иметь разный результат — исход. Нужно заметить, что на результат можно смотреть по-разному. «Мы вытащили какой-то шар» — тоже результат. «Мы вытащили синий шар» — результат. «Мы вытащили именно вот этот шар из всех возможных шаров» — такой наименее обобщенный взгляд на результат называется элементарным исходом. Именно элементарные исходы имеются в виду в формуле для вычисления вероятности.
Решение. Теперь вычислим вероятность выбора синего шара.
Событие А: «выбранный шар оказался синего цвета»
Общее число всех возможных исходов: 9+3=12 (количество всех шаров, которые мы могли бы вытащить)
Число благоприятных для события А исходов: 3 (количество таких исходов, при которых событие А произошло, — то есть, количество синих шаров)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Ответ: 0,25
Посчитаем для той же задачи вероятность выбора красного шара.
Общее число возможных исходов останется тем же, 12. Число благоприятных исходов: 9. Искомая вероятность: 9/12=3/4=0,75
Вероятность любого события всегда лежит в пределах от 0 до 1.
Иногда в повседневной речи (но не в теории вероятности!) вероятность событий оценивают в процентах. Переход между математической и разговорной оценкой осуществляется путем умножения (или деления) на 100%.
Итак,
При этом вероятность равна нулю у событий, которые не могут произойти — невероятны. Например, в нашем примере это была бы вероятность вытащить из корзины зеленый шар. (Число благоприятных исходов равно 0, Р(А)=0/12=0, если считать по формуле)
Вероятность 1 имеют события, которые абсолютно точно произойдут, без вариантов. Например, вероятность того, что «выбранный шар окажется или красным или синим» — для нашей задачи. (Число благоприятных исходов: 12, Р(А)=12/12=1)
Мы рассмотрели классический пример, иллюстрирующий определение вероятности. Все подобные задачи ЕГЭ по теории вероятности решаются применением данной формулы.
На месте красных и синих шаров могут быть яблоки и груши, мальчики и девочки, выученные и невыученные билеты, билеты, содержащие и не содержащие вопрос по какой-то теме (прототипы 285926, 285927), бракованные и качественные сумки или садовые насосы (прототипы 282857, 282856) – принцип остается тем же.
Немного отличаются формулировкой задачи теории вероятности ЕГЭ, где нужно вычислить вероятность выпадения какого-то события на определенный день. (285922, 285923) Как и в предыдущих задачах нужно определить, что является элементарным исходом, после чего применить ту же формулу.
Пример 2. Конференция длится три дня. В первый и второй день выступают по 15 докладчиков, в третий день – 20. Какова вероятность того, что доклад профессора М. выпадет на третий день, если порядок докладов определяется жеребьевкой?
Что здесь является элементарным исходом? – Присвоение докладу профессора какого-то одного из всех возможных порядковых номеров для выступления. В жеребьевке участвует 15+15+20=50 человек. Таким образом, доклад профессора М. может получить один из 50 номеров. Значит, и элементарных исходов всего 50.
А какие исходы благоприятные? – Те, при которых окажется, что профессор будет выступать в третий день. То есть, последние 20 номеров.
По формуле вероятность P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Ответ: 0,4
Жеребьевка здесь представляет собой установление случайного соответствия между людьми и упорядоченными местами. В примере 2 установление соответствия рассматривалось с точки зрения того, какое из мест мог бы занять конкретный человек. Можно к той же ситуации подходить с другой стороны: кто из людей с какой вероятностью мог бы попасть на конкретное место (прототипы 282855, 282858, 285924, 285928):
Пример 3. В жеребьевке участвуют 5 немцев, 8 французов и 3 эстонца. Какова вероятность того, что первым (/вторым/седьмым/последним – не важно) будет выступать француз.
Количество элементарных исходов – количество всех возможных людей, которые могли бы по жеребьевке попасть на данное место. 5+8+3=16 человек.
Благоприятные исходы – французы. 8 человек.
Искомая вероятность: 8/16=1/2=0,5
Ответ: 0,5
Немного отличается прототип 285925. Остались задачи про монеты (282854) и игральные кости (285853), несколько более творческие. Решение этих задач можно посмотреть на страницах прототипов.
Приведем несколько примеров на бросание монеты или кубика.
Пример 4. Когда подбрасываем монету, какова вероятность выпадения решки?
Исходов 2 – орел или решка. (считается, что монета никогда не падает на ребро) Благоприятный исход – решка, 1.
Вероятность 1/2=0,5
Ответ: 0,5.
Пример 5. А если подбрасываем монету два раза? Какова вероятность того, что оба раза выпадет орел?
Главное определить, какие элементарные исходы будем рассматривать при подбрасывании двух монет. После подбрасывания двух монет может получиться один из следующих результатов:
1) PP – оба раза выпала решка
2) PO – первый раз решка, второй раз орел
3) OP – первый раз орел, второй раз решка
4) OO – оба раза выпал орел
Других вариантов нет. Значит, элементарных исходов 4. Благоприятный из них только первый, 1.
Вероятность: 1/4=0,25
Ответ: 0,25
Какова вероятность того, что из двух подбрасываний монеты один раз выпадет решка?
Количество элементарных исходов то же, 4. Благоприятные исходы – второй и третий, 2.
Вероятность выпадения одной решки: 2/4=0,5
В таких задачах может пригодиться ещё одна формула.
Если при одном бросании монеты возможных вариантов результата у нас 2, то для двух бросаний результатов будет 2·2=2 2 =4 (как в примере 5), для трех бросаний 2·2·2=2 3 =8, для четырех: 2·2·2·2=2 4 =16, … для N бросаний возможных результатов будет 2·2·. ·2=2 N .
Так, можно найти вероятность выпадения 5 решек из 5 бросаний монеты.
Общее число элементарных исходов: 2 5 =32.
Благоприятных исходов: 1. (РРРРР – все 5 раз решка)
Вероятность: 1/32=0,03125
То же верно и для игральной кости. При одном бросании возможных результатов здесь 6. Значит, для двух бросаний: 6·6=36, для трех 6·6·6=216, и т. д.
Пример 6. Бросаем игральную кость. Какова вероятность, что выпадет четное число?
Всего исходов: 6, по числу граней.
Благоприятных: 3 исхода. (2, 4, 6)
Вероятность: 3/6=0,5
Пример 7. Бросаем две игральные кости. Какова вероятность, что в сумме выпадет 10? (округлить до сотых)
Для одного кубика 6 возможных исходов. Значит, для двух, по вышеупомянутому правилу, 6·6=36.
Какие исходы будут благоприятными для того, чтоб в сумме выпало 10?
10 надо разложить на сумму двух чисел от 1 до 6. Это можно сделать двумя способами: 10=6+4 и 10=5+5. Значит, для кубиков возможны варианты:
(6 на первом и 4 на втором)
(4 на первом и 6 на втором)
(5 на первом и 5 на втором)
Итого, 3 варианта. Искомая вероятность: 3/36=1/12=0,08
Ответ: 0,08
Другие типы задач B6 будут рассмотрены в одной из следующих статей «Как решать».